Onzekerheidsanalyse en Toleranties

Doel:

Het bij hij het ontwerpen van een fysisch experiment nadenken over, en voldoen aan, de gewenste nauwkeurigheid van het experiment.

Aanvullende literatuur

De materie die hier behandeld wordt herhaald wat in Pols [Pol22] behandeld is. Voor verdere verdieping verwijzen we naar Hughes and Hase [HH10]

Enkele belangrijke zaken die behandeld zijn in TN13010 Introductie tot experimenteren

• Het resultaat van een fysische meting is pas zinvol als de meet-onzekerheid gekwantificeerd en gerapporteerd is.

• De nauwkeurigheid van een (wetenschappelijk) meetinstrument wordt gespecificeerd door de fabrikant.

• De precisie van een (correct gerapporteerde!) literatuurwaarde (indien geen onzekerheid is opgegeven) is \(\pm\) 1 in de laatste decimaal.

• De nauwkeurigheid wordt negatief beïnvloed door systematische fouten, zoals defecte of verkeerd gecalibreerde meetinstrumenten, fouten in de meetmethode, geen rekening houden met verstoringen etc.

• Wanneer een correct experiment (juiste meetmethode, correcte meetapparatuur) N maal herhaald is, dan: Geven we de uitkomst van de meetserie aan als \(x=\mu \pm \frac{\sigma}{\sqrt{N}}\) met \(\mu\) het gemiddelde van \(N\) de metingen, en \(\sigma\) de standaardafwijking van de \(N\) metingen.

• De standaardafwijking \(\sigma\) is gedefinieerd als \(\sigma = \left[ \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i -\mu )^2 \right]^\frac{1}{2}\)

• Op de meeste wetenschappelijke rekenmachines en in bijvoorbeeld Excel zijn standaardfuncties beschikbaar om \(\mu\) en \(\sigma\) te berekenen.

• De onzekerheid \(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}\) wordt meestal slechts in 1 significant cijfer gerapporteerd. Bij \(N>10^4\) kan de onzekerheid in 2 significante cijfers worden gerapporteerd.

• Het aantal significante cijfers in \(\mu\) wordt bepaald door de grootte van de onzekerheid.

afleiding onzekerheidsformules

Stel een fysische grootheid Z hangt af van de fysische grootheden A , B en C:

\[ Z=Z\left(A,B,C\right) \]

A, B en C kunnen direct worden gemeten, met een onzekerheid \(u(A)\) , \(u(B)\) en \(u\left(C\right)\), dan wordt de onzekerheid in \(Z\) volgens de “calculus based approach” gegeven door

\[ U\left(Z\right)=\left[ \left( \frac{\partial Z}{\partial A}\right)^2 U(A)^2 + \left( \frac{\partial Z}{\partial B}\right)^2 U(B)^2 + \left( \frac{\partial Z}{\partial C}\right)^2 U(C)^2 \right] ^\frac{1}{2} \]

Of volgende “functional approach”:

\[ U(Z)=\left[\left[ Z(A+u(A),B,C)-Z(A,B,C) \right]^2 + [\left[ Z(A,B+u(B),C)-Z(A,B,C) \right]^2 + [\left[ Z(A,B,C+u(C))-Z(A,B,C) \right]^2 \right]^\frac{1}{2} \]

Als Z het resultaat is van uitsluitend vermenigvuldigingen en delingen van machten van A, B en C, dus bijvoorbeeld \(Z = A^\alpha B^\beta C^{-\gamma}\), dan vinden we met behulp van de calculus based approach:

(1)\[\begin{eqnarray} \left( \frac{u(Z)}{Z} \right) ^2 &=& \frac{\left[ \left( \frac{\partial Z}{\partial A}\right)^2 U(A)^2 + \left( \frac{\partial Z}{\partial B}\right)^2 U(B)^2 + \left( \frac{\partial Z}{\partial C}\right)^2 U(C)^2 \right]}{Z^2} \\ &=& \frac{\left[ \left( \alpha A^{\alpha-1} B^{\beta} C^{-\gamma} \right)^2 U(A)^2 + \left( A^{\alpha} \beta B^{\beta-1} C^{-\gamma} \right)^2 U(B)^2 + \left( -A^{\alpha} B^{\beta} \gamma C^{-\gamma-1} \right)^2 U(C)^2 \right]}{\left( A^\alpha B^\beta C^{-\gamma} \right)^2} \\ &=& \left( \left( \alpha A^-1 \right)^2 u(A)^2 + \left( \beta B^-1 \right)^2 u(B)^2 + \left( \gamma C^-1 \right)^2 u(C)^2 \right) \\ &=& \left( \left( \alpha \frac{U(A)}{A} \right)^2 + \left( \beta \frac{U(B)}{B} \right)^2 + \left( \gamma \frac{U(C)}{C} \right)^2 \right) \end{eqnarray}\]

Verschil onzekerheid bij practicum en ontwerpen

Bij het natuurkundig practicum was de uitdaging om bij een gegeven opstelling te bepalen wat de (on)nauwkeurigheid in het gene was dat gemeten was. Ook wordt bij het practicum al een belangrijke stap naar het ontwerpen van experimenten gedaan door uit te rekenen hoe vaak een experiment herhaald moet worden om met gegeven apparatuur een gewenste nauwkeurigheid te halen.

Bij het ontwerpen van een meet-apparaat of een meet-opstelling worden dezelfde vergelijkingen gebruikt om een ander probleem op te lossen, namelijk: hoe nauwkeurig moeten onderdelen van mijn oplossing zijn om een gewenste nauwkeurigheid te behalen. De maximaal toegelaten nauwkeurigheid (\(U\left( Z\right)\) in bovenstaande vergelijkingen) is dan gegeven. De op te lossen vraag is welke combinatie van ontwerpkeuzes ervoor zorgt dat de opstelling aan dit criteria gaat voldoen. Realiseer je daarbij dat een opstelling relatief nauwkeuriger maken vaak zowel kan door \(U\left( A\right)\) te verlagen als door \(A\) te vergroten.

Voorbeeld: Maximaal vermogen

Stel je hebt een simpele schakeling van een LEDje, een weerstand en een variabele spanningsbron. Het maximale vermogen dat door de schakeling mag is bekend, daarboven gaat de schakeling kapot. De spanningsbron heeft een bereik van 0 tot 220 Volt en een onzekerheid van 1 Volt. De spanning over de LED verwaarlozen we. Je hebt weerstanden met een nauwkeurigheid van 1% of 5% tot je beschikking. Je wilt dat de onzekerheid in het vermogen lager dan 10% is zodat je niet per ongelukt de schakeling kapot maakt. Deel het bereik van de spanningsdeler op en geef voor elk gebied aan welke weerstand je moet kiezen.

Uitwerking voorbeeld: Maximaal vermogen

Gebruik de wet van Ohm, het vermogen \(P\) in een schakeling is gegeven door:

(2)\[\begin{eqnarray} P &=& V I \\ P &=& V^{2}R \end{eqnarray}\]

De eis is dat de onzekerheid in het vermogen kleiner dan 10% is, dus \(\frac{u_{P}}{P}\leq 0.1\). De onzekerheid in P is gegeven door

(3)\[\begin{equation} \left(\frac{u_{P}}{P}\right)^{2} = \left(2\frac{u_{V}}{V}\right)^{2} + \left(\frac{u_{R}}{R}\right)^{2} \end{equation}\]

Invullen en omschrijven geeft:

(4)\[\begin{equation} \left(0.1\right)^{2} \leq \left(2\frac{u_{V}}{V}\right)^{2} + \left(\frac{u_{R}}{R}\right)^{2} \end{equation}\]

Voor zeer kleine waarden van \(V\) zal de onzekerheid \(\frac{u_{V}}{V}\) al groter zijn dan 10%. Omdat \(u_{V}\) vaststaat op 1V geldt dit onder de 10V. Hoe hoger het voltage, hoe lager de onzekerheid \(u_{V}{V}\). Boven een bepaald voltage zal het ok zijn om de onzekere 5% weerstand te gebruiken. Dat punt gaan we uitrekenen:

(5)\[\begin{eqnarray} \left(0.1\right)^{2} &\leq& \left(2\frac{u_{V}}{V}\right)^{2} + \left(\frac{u_{R}}{R}\right)^{2} \\ 10^{-2} &\leq& \left(2\frac{u_{V}}{V}\right)^{2} + 25\cdot10^{-4} \\ \frac{1}{2}\sqrt{10^{-2} - 25\cdot10^{-4}} &\leq& \frac{1}{V} \\ V &\geq & 23.1 \end{eqnarray}\]

Dus vanaf 23 V is het ok om een 5% weerstand te gebruiken. Tussen de 10 en 23V is een 1% weerstand nodig. Onder de 10V is het niet mogelijk om een nauwkeurigheid van onder de 10% te halen omdat de onzekerheid in de spanningsbron dan al meer dan 10% is.